Bibliografias

 ARQUÍMEDES Y GALILEO GALILEI 

1. ARQUÍMEDES

·      BIOGRAFÍA:

Hay pocos datos fiables sobre la vida de Arquímedes. Sin embargo, todas las fuentes coinciden en que era natural de Siracusa y que murió durante el desenlace del sitio de Siracusa. Arquímedes nació 287 a. C. en el puerto marítimo de Siracusa (Sicilia, Italia), ciudad que en aquel tiempo era una colonia de la Magna Grecia.

Conociendo la fecha de su muerte, la aproximada fecha de nacimiento está basada en una afirmación del historiador bizantino Juan Tzetzes, que afirmó que Arquímedes vivió hasta la edad de 75 años.

Arquímedes murió c. 212 a. C. durante la segunda guerra púnica, cuando las fuerzas romanas al mando del general Marco Claudio Marcelo capturaron la ciudad de Siracusa después de un asedio de dos años de duración. Arquímedes se distinguió especialmente durante el sitio de Siracusa, en el que desarrolló armas para la defensa de la ciudad. Polibio,​ Plutarco,​y Tito Livio describen, precisamente, su labor en la defensa de la ciudad como ingeniero, desarrollando piezas de artillería y otros artefactos capaces de mantener a raya al enemigo.

Arquímedes fue asesinado al final del asedio por un soldado romano, contraviniendo las órdenes del general romano, Marcelo, de respetar la vida del gran matemático griego. Existen diversas versiones de la muerte de Arquímedes: Plutarco, en su relato, da hasta tres versiones diferentes.

De acuerdo con su relato más popular, Arquímedes estaba contemplando un diagrama matemático cuando la ciudad fue tomada. Un soldado romano le ordenó ir a encontrarse con el general, pero Arquímedes hizo caso omiso a esto, diciendo que tenía que resolver antes el problema. El soldado, enfurecido ante la respuesta, mató a Arquímedes con su espada.

Sin embargo, Plutarco también brinda otros dos relatos menos conocidos de la muerte de Arquímedes, el primero de los cuales sugiere que podría haber sido asesinado mientras intentaba rendirse ante un soldado romano, y mientras le pedía más tiempo para poder resolver un problema en el que estaba trabajando.

De acuerdo con la tercera historia, Arquímedes portaba instrumentos matemáticos, y fue asesinado porque el soldado pensó que eran objetos valiosos.

En cualquier caso, según todos los relatos, el general Marcelo se mostró furioso ante la muerte de Arquímedes, debido a que lo consideraba un valioso activo científico, y había ordenado previamente que no fuera herido.

Cicerón describe la tumba de Arquímedes, que habría visitado, e indica que sobre ella se había colocado una esfera inscrita dentro de un cilindro. Arquímedes había probado que el volumen y el área de la esfera son dos tercios de los del cilindro que la inscribe, incluyendo sus bases, lo cual se consideró el más grande de sus descubrimientos matemáticos.

En el año 75 a. C., 137 años después de su muerte, el orador romano Cicerón estaba sirviendo como cuestor en Sicilia y escuchó historias acerca de la tumba de Arquímedes, pero ninguno de los locales fue capaz de decirle dónde se encontraba exactamente.

Finalmente, encontró la tumba cerca de la puerta de Agrigento en Siracusa, en una condición descuidada y poblada de arbustos. Cicerón limpió la tumba, y así fue capaz de ver la talla y leer algunos de los versos que se habían escrito en ella.

·      DESCUBRIMIENTOS:

ü LA CORONA DORADA:

Una de las anécdotas más conocidas sobre Arquímedes cuenta cómo inventó un método para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular. 

Hierón II ordenó la fabricación de una nueva corona con forma de corona triunfal, y le pidió a Arquímedes determinar si la corona estaba hecha solo de oro o no.

 

Arquímedes tenía que resolver el problema sin dañar la corona, así que no podía fundirla y convertirla en un cuerpo regular para calcular su masa y volumen, a partir de ahí, su densidad. 

Mientras tomaba un baño, notó que el nivel de agua subía en la bañera cuando entraba, y así se dio cuenta de que ese efecto podría ser usado para determinar el volumen de la corona.

Debido a que el agua no se puede comprimir, la corona, al ser sumergida, desplazaría una cantidad de agua igual a su propio volumen. Al dividir la masa de la corona por el volumen de agua desplazada se podría obtener la densidad de la corona. La densidad de la corona sería menor que la densidad del oro si otros metales menos densos le hubieran sido añadidos.

Cuando Arquímedes, durante el baño, se dio cuenta del descubrimiento, se dice que salió corriendo desnudo por las calles, y que estaba tan emocionado por su hallazgo que olvidó vestirse. Según el relato, en la calle gritaba «¡Eureka!» (que significa «¡Lo he encontrado!»).

ü EL RAYO DE ARQUIMEDES:

Según la tradición, dentro de sus trabajos en la defensa de Siracusa, Arquímedes podría haber creado un sistema de espejos ustorios que reflejaban la luz solar concentrándola en los barcos enemigos y con la finalidad de incendiarlos. Sin embargo, las fuentes que recogen estos hechos son tardías, siendo la primera de ellas Galeno, ya en el siglo II.

Luciano de Samosata, historiador también del siglo II, escribió que, durante el sitio de Siracusa (213-211 a. C.), Arquímedes repelió un ataque llevado a cabo por soldados romanos con fuego. Siglos más tarde, Antemio de Tralles menciona los espejos ustorios como arma utilizada por Arquímedes. ​

El artefacto, que en ocasiones es denominado como el «rayo de calor de Arquímedes», habría servido para enfocar la luz solar en los barcos que se acercaban, haciendo que estos ardieran.

·      MATEMÁTICA:

Arquímedes fue capaz de utilizar los infinitesimales de forma similar al moderno cálculo integral. A través de la reducción al absurdo, era capaz de resolver problemas mediante aproximaciones con determinado grado de precisión, especificando los límites entre los cuales se encontraba la respuesta correcta. Esta técnica recibe el nombre de método exhaustivo, y fue el sistema que utilizó para aproximar el valor del número π.

Para ello, dibujó un polígono regular inscrito y otro circunscrito a una misma circunferencia, de manera que la longitud de la circunferencia y el área del círculo quedan acotadas por esos mismos valores de las longitudes y las áreas de los dos polígonos. A medida que se incrementa el número de lados del polígono la diferencia se acorta, y se obtiene una aproximación más exacta.

Partiendo de polígonos de 96 lados cada uno, Arquímedes calculó que el valor de π debía encontrarse entre 3¹⁰⁄₇₁ (aproximadamente 3.1408) y 3¹⁄₇ (aproximadamente 3.1429), lo cual es consistente con el valor real de π. También demostró que el área del círculo era igual a π multiplicado por el cuadrado del radio del círculo.

En su obra Sobre la esfera y el cilindro, Arquímedes postula que cualquier magnitud, sumada a sí misma suficiente número de veces, puede exceder cualquier otra magnitud dada, postulado que es conocido como la propiedad arquimediana de los números reales.

En su obra sobre la Medición del círculo, Arquímedes ofrece un intervalo para el valor de la raíz cuadrada de 3 de entre ²⁶⁵⁄₁₅₃ (aproximadamente 1.7320261) y ¹³⁵¹⁄₇₈₀ (aproximadamente 1.7320512).

El valor real se ubica aproximadamente en 1.7320508, por lo que la estimación de Arquímedes resultó ser muy exacta. Sin embargo, introdujo este resultado en su obra sin explicación de qué método había utilizado para obtenerlo.

 

En su obra sobre La cuadratura de la parábola. 

Arquímedes probó que el área definida por una parábola y una línea recta equivalía exactamente a ⁴⁄₃ el área del correspondiente triángulo inscrito. 

Tal y como se puede observar en la figura.

Para obtener ese resultado, desarrolló una serie geométrica infinita con una razón común de ¹⁄₄:

 

 

El primer término de esta suma equivale al área del triángulo, el segundo sería la suma de las áreas de los dos triángulos inscritos en las dos áreas delimitadas por el triángulo y la parábola, y así sucesivamente.

Esta prueba utiliza una variación de la serie infinita ¹⁄₄ + ¹⁄₁₆ + ¹⁄₆₄ + ¹⁄₂₅₆ + ..., cuya suma se demuestra que equivale a ¹⁄₃.

2. GALILEO GALILEI

·     

:     BIOGRAFÍA:

Galileo Galilei (Pisa, 15 de febrero de 1564 - Arcetri, 8 de enero de 1642)​ fue un astrónomo, ingeniero, matemático y físico italiano, relacionado estrechamente con la revolución científica. Eminente hombre del Renacimiento, mostró interés por casi todas las ciencias y artes (música, literatura, pintura).

Sus logros incluyen la mejora del telescopio, gran variedad de observaciones astronómicas, la primera ley del movimiento y un apoyo determinante a la «Revolución de Copérnico». Ha sido considerado como el «padre de la astronomía moderna», el «padre de la física moderna»⁹​ y el «padre de la ciencia moderna».

·      INFANCIA Y PRIMEROS AÑOS:

Galileo di Vincenzo Bonaiuti de' Galilei, nacido en Pisa cuando esta pertenecía al Gran Ducado de Toscana, fue el mayor de siete hermanos, hijo de Giulia Ammannati y del músico y matemático Vincenzo Galilei. Los Galilei, una familia de la baja nobleza que se ganaba la vida gracias al comercio, se encargaron de la educación de Galileo hasta sus 10 años, edad a la que pasó a cargo de un vecino religioso llamado Jacobo Borhini cuando sus padres se trasladaron a Florencia.

Por mediación de este, el pequeño Galileo accedió al convento de Santa María de Vallombrosa de Florencia y recibió una formación piadosa que le llevó a plantearse entrar en la vida religiosa, algo que a su padre le disgustó. Por eso, Vincenzo Galilei —un hombre bastante escéptico— aprovechó una infección en el ojo que padecía su hijo para sacarle del convento alegando «falta de cuidados».​ Dos años más tarde, Galileo fue inscrito por su padre en la Universidad de Pisa, donde estudió medicina, filosofía y matemáticas.

·      DESCUBRIMIENTO DE SU VOCACIÓN:

Si bien su padre quería que Galileo se dedicara a la medicina, en 1583 Galileo se inició en la matemática de la mano de Ostilio Ricci, un amigo de la familia, alumno de Tartaglia. Ricci tenía la costumbre, rara en esa época, de unir la teoría a la práctica experimental.

Atraído por la obra de Euclides, sin ningún interés por la medicina y todavía menos por las disputas escolásticas y la filosofía aristotélica, Galileo reorienta sus estudios hacia las matemáticas.

Desde entonces, se siente seguidor de Pitágoras, de Platón y de Arquímedes, y opuesto al aristotelismo.

Todavía estudiante, descubre la ley del isocronismo de los péndulos, primera etapa de lo que será el descubrimiento de una nueva ciencia: la mecánica.

Dentro de la corriente humanista, redacta también un panfleto feroz contra el profesorado de su tiempo.

Toda su vida, Galileo rechazará el ser comparado a los profesores de su época, lo que le supondrá numerosos enemigos.

Dos años más tarde, retorna a Florencia sin diploma, pero con grandes conocimientos y una gran curiosidad científica.

·      EXPERIMENTO EN LA TORRE DE PISA:

Entre 1589 y 1592,​ el científico italiano Galileo Galilei (entonces profesor de matemáticas de la Universidad de Pisa) dejó caer dos esferas de distintas masas desde la parte alta de la torre inclinada de Pisa para demostrar que el tiempo de descenso es independiente de la masa del cuerpo que cae, de acuerdo con la biografía del alumno de Galileo, Vincenzo Viviani, realizada en 1654 y publicada en 1717.

De acuerdo con la historia, Galileo descubrió a través de este experimento que los objetos caen con la misma aceleración, probando que su predicción era cierta, y al mismo tiempo negando la teoría gravitatoria aristotélica (que enunciaba que los objetos caían a una velocidad proporcional a sus masas).

Muchos historiadores consideran que fue un experimento mental más que una prueba física.

·      1604:

En julio, probó su bomba de agua en un jardín de Padua.

En octubre, descubrió la ley del movimiento uniformemente acelerado, que él asoció a una ley de velocidades erróneas.

 

·      INVENCIÓN DEL TELESCOPIO:

En mayo de 1609, Galileo recibe desde París una carta del francés Jacques Badovere, uno de sus antiguos alumnos, quien le confirma un rumor insistente: la existencia de un telescopio que permite ver los objetos lejanos.

Construido en Holanda por el fabricante de lentes Hans Lippershey, este telescopio habría permitido ya ver estrellas invisibles a simple vista.

Con esta única descripción, Galileo, que ya no da cursos a Cosme II de Médicis, construye su primer telescopio.

Al contrario que el telescopio neerlandés, este no deforma los objetos y los aumenta 6 veces, o sea, el doble que su oponente.

También es el único de la época que consigue obtener una imagen derecha gracias a la utilización de una lente divergente en el ocular.

Este invento marca un giro en la vida de Galileo.

El 21 de agosto, apenas terminado su segundo telescopio (aumenta ocho o nueve veces), lo presenta al Senado de Venecia.

La demostración tiene lugar en lo alto del Campanile de la plaza de San Marco.

Los espectadores quedan entusiasmados: ante sus ojos, Murano, situado a 2 km y medio, parece estar a 300 m solamente.

Galileo ofrece su instrumento y cede los derechos a la República de Venecia, muy interesada por las aplicaciones militares del objeto.

En recompensa, es confirmado de por vida en su puesto de Padua y sus emolumentos se duplican.

Se libera por fin de las dificultades financieras.

Sin embargo, contrario a sus alegaciones, no dominaba la teoría óptica y los instrumentos fabricados por él son de calidad muy variable.

Algunos telescopios son prácticamente inutilizables (al menos para la observación astronómica).

En abril de 1610, en Bolonia, por ejemplo, la demostración del telescopio es desastrosa, como así lo informa Martin Horky en una carta a Kepler.

Galileo reconoció en marzo de 1610 que, entre los más de 60 telescopios que había construido, solamente algunos eran adecuados.

·      OBSERVACIÓN DE LA LUNA:

Durante el otoño de 1610, Galileo continuó desarrollando su telescopio. En noviembre, fabricó un instrumento que aumentaba veinte veces el tamaño y lo utilizó para observar el cielo. Rápidamente, observando las fases de la Luna, descubrió que este astro no era una esfera traslúcida y perfecta como afirmaba la teoría aristotélica. La física aristotélica, que poseía autoridad en esa época, distinguía dos mundos:

 

El mundo «sublunar», que comprende la Tierra y todo lo que se encuentra entre la Tierra y la Luna; en este mundo todo es imperfecto y cambiante;

El mundo «supralunar», que comienza en la Luna y se extiende más allá. En esta zona, no existen más que formas geométricas perfectas (esferas) y movimientos regulares inmutables (circulares).

 

Galileo, por su parte, observó una zona transitoria entre la sombra y la luz, el terminador, que no era para nada regular, lo que por consiguiente invalidaba la teoría aristotélica y afirma la existencia de montañas en la Luna. Galileo incluso estimó su altura en 7000 metros, más que la montaña más alta conocida hasta entonces. Hay que decir que los medios técnicos de la época ni siquiera permitían medir con exactitud la altitud de las montañas terrestres. Aun cuando los dibujos de las fases lunares y los mapas realizados por Galileo tuvieron mayor difusión e influencia, no era el único que estudiaba la luna.

·      INVESTIGACIÓN DEL UNIVERSO:

En pocas semanas, descubriría la naturaleza de la Vía Láctea, cuenta las estrellas de la constelación de Orión y constata que ciertas estrellas visibles a simple vista son, en verdad, cúmulos de estrellas. Galileo observa los anillos de Saturno pero no los identifica como tales, sino como extraños «apéndices» (como dos asas). No será hasta medio siglo más tarde cuando Huygens (1629-1695), utilizando telescopios más perfectos, pueda observar la verdadera forma de los anillos. Estudia igualmente las manchas solares.

El 7 de enero de 1610, Galileo hace un descubrimiento capital: percibe tres estrellas pequeñas en la periferia de Júpiter. Después de varias noches de observación, descubre que son cuatro y que giran alrededor del planeta. Se trata de los satélites de Júpiter llamados hoy satélites galileanos: Calixto, Europa, Ganimedes e Ío. A fin de protegerse de la necesidad y sin duda deseoso de retornar a Florencia, Galileo llamará a estos satélites por algún tiempo los «astros mediceos» I, II, III y IV,​ en honor de Cosme II de Médicis, su antiguo alumno y gran duque de Toscana. Galileo no ha dudado entre Cósmica sidera y Medicea sidera. El juego de palabras entre cósmica y Cosme es evidentemente voluntario y es solo después de la primera impresión que retiene la segunda denominación (el nombre actual de estos satélites se debe, sin embargo, al astrónomo Simon Marius, quien los bautizó de esta manera a sugerencia de Johannes Kepler (1561-1630), si bien durante dos siglos se empleó la nomenclatura de Galileo).

El 4 de marzo de 1610, Galileo publica en Florencia sus descubrimientos dentro de El mensajero de las estrellas (Sidereus nuncius), resultado de sus primeras observaciones estelares.

Para él, Júpiter y sus satélites son un modelo a escala reducida del sistema solar. Gracias a ellos, piensa poder demostrar que las órbitas de cristal de Aristóteles no existen y que todos los cuerpos celestes no giran alrededor de la Tierra. Es un golpe muy duro a los aristotélicos. Así mismo, corrige a ciertos copernicanos que pretenden afirmar que todos los cuerpos celestes giran alrededor del Sol.

El 10 de abril de 1610, muestra estos astros a la corte de Toscana de donde sale triunfante. En ese mismo mes, da tres cursos sobre el tema en Padua y Johannes Kepler (de 38 años) ofrece su apoyo a Galileo. El astrónomo alemán no confirmará verdaderamente este descubrimiento —pero con entusiasmo— hasta septiembre, gracias a una lente ofrecida por Galileo en persona.

·      OTROS DESCUBRIMIENTOS:

Montañas en la Luna

Fue el primer descubrimiento de Galileo con ayuda del telescopio, publicado en el Sidereus nuncius en 1610.

Con él refuta la tesis aristotélica de que los cielos son perfectos, y en particular la Luna una esfera lisa e inmutable.

Frente a eso, Galileo presenta numerosos dibujos de sus observaciones, e incluso estimaciones de la altura de montañas, si bien errados por realizar estimaciones incorrectas de la distancia de la Luna.

 

Nuevas estrellas

Fue el segundo descubrimiento de Galileo, también publicado en el Sidereus nuncius. Observó que el número de estrellas visibles con el telescopio se duplicaba. Además, no aumentaban de tamaño, cosa que sí ocurría con los planetas, el Sol y la Luna.

Esta imposibilidad de aumentar el tamaño era una prueba de la hipótesis de Copérnico sobre la existencia de un enorme hueco entre Saturno y las estrellas fijas.

Esta prueba refutaba el mejor argumento a favor de la teoría geocéntrica, que es que, de ser cierta la teoría copernicana, debería observarse el paralaje, o diferencia de posiciones de las estrellas dependiendo del lugar de la Tierra en su órbita.

Así, debido a la enorme lejanía de las mismas en relación con el tamaño de la órbita, no era posible apreciar dicha paralaje.

Satélites de Júpiter

Probablemente el descubrimiento más famoso de Galileo. Lo realizó el 7 de enero de 1610​ y provocó una conmoción en toda Europa. 

Cristóbal Clavio, astrónomo del Colegio Romano de los jesuitas, afirmó: «Todo el sistema de los cielos ha quedado destruido y debe arreglarse». Era una importante prueba de que no todos los cuerpos celestes giraban en torno a la Tierra, pues ahí había cuatro planetas (en la concepción de planetas que entonces se concebía, que incluía la Luna y el Sol) que lo hacían en torno a Júpiter.

Manchas solares (primera prueba)

Otro descubrimiento que refutaba la perfección de los cielos fue la observación de manchas en el Sol que tuvo lugar a finales de 1610 en Roma, si bien demoró su publicación hasta 1612. ​

El jesuita Christoph Scheiner, bajo el pseudónimo de Padre Apelles, se atribuye su descubrimiento e inicia una agria polémica argumentando que son planetoides que están entre el Sol y la Tierra.

Por el contrario, Galileo demuestra, con la ayuda de la teoría matemática de los versenos, que están en la superficie del Sol.

Además, hace otro importante descubrimiento al mostrar que el Sol está en rotación, lo que sugiere que también la Tierra podría estarlo.

Las fases de Venus

Esta prueba es un magnífico ejemplo de aplicación del método científico que Galileo usó por primera vez.

La observación la hizo en 1610, aunque demoró su publicación hasta El Ensayador, aparecido en 1623, si bien para asegurar su autoría hizo circular un criptograma, anunciándolo de forma cifrada.

Observó las fases, junto a una variación de tamaño, que son solo compatibles con el hecho de que Venus gire alrededor del Sol, ya que presenta su menor tamaño cuando se encuentra en fase llena y el mayor, cuando se encuentra en la nueva; es decir, cuando está entre el Sol y la Tierra.

Esta prueba refuta completamente el sistema de Ptolomeo (100-168), que se volvió insostenible.

A los jesuitas del Colegio Romano solo les quedaba la opción de aceptar el sistema copernicano o buscar otra alternativa, lo que hicieron refugiándose en el sistema de Tycho Brahe, dándole una acepción que hasta entonces nunca había tenido.

Argumento de las mareas

Presentada en la cuarta jornada de los Diálogos sobre los dos máximos sistemas del mundo.

Es un argumento brillante y propio del genio de Galileo, pero es el único de los que presenta que estaba equivocado.

Según Galileo, la rotación de la Tierra, al moverse esta en su traslación alrededor del Sol, hace que los puntos situados en la superficie de la Tierra sufran aceleraciones y deceleraciones cada 12 horas, que serían las causantes de las mareas.

En esencia, el argumento es correcto, y esta fuerza existe en realidad, si bien su intensidad es muchísimo menor que la que Galileo calcula, y no es la causa de las mareas.

El error proviene del desconocimiento de datos importantes como la distancia al Sol y la velocidad de la Tierra.

Si bien estaba equivocado, Galileo desacreditó completamente la teoría del origen lunar de estas fuerzas por falta de explicación de su naturaleza, y del problema de explicación de la marea alta cuando la Luna está en sentido contrario, pues alega que la fuerza sería atractiva y repulsiva a la vez.

Sería necesario esperar hasta Newton para resolver esta cuestión, no solo explicando el origen de la fuerza, sino también el cálculo diferencial para explicar el doble abultamiento.

Pero, aun equivocada, situada en su contexto, la tesis de Galileo presentaba menos problemas y era más plausible en su explicación de las mareas.

Manchas solares (segunda prueba)

En su gran obra, el diálogo sobre los sistemas del mundo, Galileo retoma el argumento de las manchas solares, convirtiéndolo en un poderoso argumento contra el sistema de Tycho Brahe, el único refugio que quedaba a los geocentristas.

Galileo presenta la observación de que el eje de rotación del Sol está inclinado, lo que hace que la rotación de las manchas solares presente una variación estacional, un «bamboleo» en el giro de las mismas.

Si bien los movimientos de las manchas se pueden atribuir al Sol o a la Tierra, pues geométricamente esto es equivalente, resulta que no es así físicamente, pues es necesario tener en cuenta las fuerzas que los producen.

Si es la Tierra la que se mueve, Galileo indica que basta una explicación con movimientos inerciales: la Tierra en traslación y el Sol en rotación.

Por el contrario, si solo se mueve el Sol, es necesario que este esté realizando dos movimientos distintos a la vez, en torno también a dos ejes distintos, generados por motores sin ninguna plausabilidad física.

Este argumento vuelve a ser una nueva prueba, junto a las fases de Venus, de carácter positivo y experimental que muestra el movimiento de la Tierra.

Bibliografías de Tales de Mileto y Zenón de Elea

Tales de Mileto (Mileto, actual Turquía, 624 a.C. - 548 a.C.)

Fue un filósofo, matemático, geómetra, físico y legislador griego que tuvo un raciocinio del origen de las cosas, es decir, como en sus teorías, todo está constituido por una sustancia matriz, una sustancia de la que todas las cosas están hechas a la cual llamo arjé. Esa suposición llego a la mente de Tales, al observar que todo en este mundo tiende a cambiar, la madera al quemarse se convierte en carbón y ceniza, el agua al hervir se transforma en vapor de agua, un ser vivo al morir se desintegra y alimenta el subsuelo, estas observaciones pudieron haber conducido a Tales a proponer que la sustancia matriz era el agua, o sea el arjé.

El hecho de tener esa capacidad de racionamiento y entendimiento fue lo que lo catalogo como el padre de la filosofía. A pesar de que no existe ningún manuscrito o pergamino de su autoría, todos sus aportes se han revelado al mundo gracias a sus discípulos Anaximandro y Anaxímenes, estos últimos también propusieron sus propias ideas de sustancia matriz.

Cuentan algunos historiadores que Tales realizo algunos viajes a Egipto y que tuvo la posibilidad de ver como se desenvolvían en el ordenamiento de tierras para la recolección de cosechas y aportes de impuestos de los ciudadanos según sus propiedades. Un día de aquellos, Tales se encontraba cerca a una de la pirámides de Egipto en un momento en el que el Sol reflejaba la sombra de la pirámide y la de él mismo también y observo que su altura coincidía con el reflejo en ese punto de la sombra de la pirámide, esa observación lo llevo a tener el siguiente raciocinio “ la sombra reflejada de la pirámide como de su cuerpo eran proporcionales a su altura”, era evidente que los reflejos formaban un triángulo con respecto al piso y fue  así que se le ocurrió medir la semejanza entre ellos y se estableció el teorema de Tales que nos dice que “si en un triangulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados se obtiene un triangulo que es semejante al triangulo dado”, con este teorema pudo decir con una precisión considerable la altura de la pirámide.          

 

Continuando con el teorema, con otra aplicación dice lo siguiente “si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra”.

Este conocimiento lo dio a conocer entre sus amigos en Grecia, donde juntos formaban el grupo de los siete sabios. De Tales aprendieron la geometría.

 

Zenón de Elea (Elea?, actual Italia, hacia 495 a.C. - id., hacia 430 a.C.) Filósofo griego.

Fue discípulo de Parménides y miembro de la escuela de Elea, su principal aportación consistió en desarrollar una especie de método de reducción a lo absurdo para probar las teorías de su maestro. La reducción a lo absurdo consiste en intentar demostrar lo que se quiere refutar para llegar a una contradicción, el resultado de esto fueron las famosas aporías de Zenón, sus argumentos se centraron en el problema del movimiento y la multiplicidad, a continuación, veremos dos de estos que abordan el tema del movimiento, el de Aquiles y la Tortuga y el de la fleca. En el primer argumento se nos presenta una situación, Aquiles el mas veloz de los griegos va a hacer una carrera con uno de los animales mas lentos, la Tortuga, para ser magnánimo el atleta decide darle unos metros de ventaja a la tortuga que se sitúa mas adelante, la carrera empieza y pasa que cuando Aquiles ha llegado al punto donde ha empezado la tortuga , esta también ha concebido otra pequeña ventaja y aunque Aquiles llegue a este otro punto, la tortuga ha conseguido otra pequeña ventaja de hecho cada vez que Aquiles supere la ventaja anterior, la tortuga habrá conseguido otra pequeña ventaja que el atleta tendrá que superar. 

La conclusión lógica de este argumento nos hace llegar a una situación absurda, Aquiles nunca podrá avanzar a la tortuga.

El argumento de la flecha se basa en la premisa que un objeto en reposo ocupa un espacio idéntico a sí mismo, imaginémonos que alguien tira una flecha y trata de visualizar su trayectoria, en cada instante la flecha tendrá una posición determinada y ocupara un espacio idéntico a sus dimensiones pero esto significa que en cada instante la flecha en realidad se encuentra en reposo, y la suma de instantes en reposo, no puede crear el movimiento, es contradictorio afirmar que el reposo genera el movimiento, la conclusión lógica de todo esto es que cuando intentamos explicar el movimiento entramos en contradicción, las dos situaciones son paradojas porque contradicen nuestra experiencia diaria, por esto Zenón siguiendo a Parménides defenderá que el movimiento no existe y que lo que experimentamos en realidad es una ilusión.

 

Según Zenón de Elea si estas por ejemplo a un metro de un árbol y recorres la mitad de la distancia, luego la mitad de esa mitad y así sucesivamente, como toda magnitud es divisible hasta el infinito, y contiene por tanto el infinito, no podrás llegar nunca. Sin embargo, esas paradojas, señalaban una ruta que siguieron otros matemáticos en los siglos posteriores, lo que les condujo a una mejor comprensión del concepto infinito y fue clave para el desarrollo del cálculo infinitesimal que tantas alegrías nos ha dado.

BIOGRAFÍA DE DESCARTES E ISAAC NEWTON

1.  DESCARTES:

BIOGRAFÍA

Nació el 31 de marzo de 1596 en La Haye de Touraine, Francia.

Fue un físico, matemático y filósofo; considerado el padre de la geometría analítica y el padre de la filosofía moderna.

Falleció el 11 de febrero de 1650, en Estocolmo, Suecia.

INFANCIA Y ADOLESCENCIA

Durante la Edad Moderna era también conocido por su nombre latino Renatus Cartesius. Descartes nació en la Turena, en La Haye en Touraine, hoy en día llamada Descartes en su honor, después de que su madre abandonara la ciudad de Rennes, donde se había declarado una epidemia de peste bubónica. Pertenecía a una familia de baja nobleza; su padre fue Joachim Descartes, consejero en el Parlamento de Bretaña. Era el tercero de los descendientes del matrimonio entre Joachim Descartes, parlamentario de Rennes, y Jeanne Brochard, por lo que, por vía materna, era nieto del alcalde de Nantes.

Después de la temprana desaparición de su madre, Jeanne Brochard, a pocos meses después de su nacimiento, quedó al cuidado y crianza de su abuela, su padre y su nodriza.

Fue criado por la atención de una nodriza, a quien permanecerá ligado toda su vida, en casa de su abuela materna. Su madre muere el 13 de mayo de 1597, a los trece meses siguientes de haber alumbrado a René y pocos días, luego del nacimiento de un niño que no sobrevive. 

Su padre comenzó a llamarle su «pequeño filósofo» porque el pequeño René se pasaba el día planteando preguntas.

Con once años entra en el Collège Henri IV de La Flèche, un centro de enseñanza jesuita en el que impartía clase el padre François Fournet —doctor en filosofía por la Universidad de Douai — y el padre Jean François (matemático) —que le enseñará matemáticas durante un año— en el que permanecerá hasta 1614.

Estaba eximido de acudir a clase por la mañana debido a su débil salud y era muy valorado por los educadores a causa de sus precoces dotes intelectuales. ​Aprendió física y filosofía escolástica, y mostró un notable interés por las matemáticas; no obstante, no cesará de repetir en su Discurso del método que en su opinión este sistema educativo no era bueno para un adecuado desarrollo de la razón.

EDUCACIÓN 

La educación que recibió en La Flèche hasta los dieciséis años de edad (1604-1612) le proporcionó, durante los cinco primeros años de cursos, una sólida introducción a la cultura clásica, habiendo aprendido latín y griego en la lectura de autores como Cicerón, Horacio y Virgilio, por un lado, y Homero, Píndaro y Platón, por el otro.

El resto de la enseñanza estaba basada principalmente en textos filosóficos de Aristóteles (Órganon, Metafísica, Ética a Nicómaco), acompañados por comentarios de jesuitas (Suárez, Fonseca, Toledo, quizá el dominico Vitoria) y otros autores.

Conviene destacar que Aristóteles era entonces el autor de referencia para el estudio, tanto de la física, como de la biología. El plan de estudios incluía también una introducción a las matemáticas (Clavius), tanto puras como aplicadas: astronomía, música, arquitectura.

Siguiendo una extendida práctica medieval y clásica, en esta escuela los estudiantes se ejercitaban constantemente en la discusión.

JUVENTUD

A los 18 años de edad, Descartes ingresó en la Universidad de Poitiers para estudiar derecho y medicina. Para 1616 cuenta con los grados de bachiller y licenciado en Derecho

A los veintidós años parte hacia los Países Bajos, donde observa los preparativos del ejército de Mauricio de Nassau para la inminente Guerra de los Treinta Años. En 1618 y 1619 reside en Países Bajos.

En noviembre de 1618 conoció en Breda a Isaac Beeckman con quien durante varios años mantiene una intensa y estrecha amistad y que intentaba desarrollar una teoría física corpuscularista, muy basada en conceptos matemáticos.

El contacto con Beeckman estimuló en gran medida el interés de Descartes por la matemática y la física.

Pese a los constantes viajes que realizó en esta época, Descartes no dejó de formarse y en 1620 conoció en Ulm al entonces famoso maestro calculista alemán Johann Faulhaber.

Para Beeckman escribe pequeños trabajos de física, como «Sobre la presión del agua en un vaso» y «Sobre la caída de una piedra en el vacío», así como un compendio de música.

En 1619 se enrola en las filas del duque Maximiliano de Baviera.

APORTES MATEMÁTICOS

·        Es el padre de la geometría analítica

·        Fue el primero en utilizar las coordenadas cartesianas

·        Expresó por primera vez la duda sobre la posibilidad de solución a la duplicación del cubo

·        Resolvió el problema de Pappus mediante la geometría analítica

·        Introdujo el segmento unidad y la construcción de la cuarta proporcional

·        Extendió a las secciones cónicas el método de las normales

·        Mostró que u a ecuación tiene tantas raíces positivas como cambios de signos hay en la serie de coeficientes y tantas negativas como repeticiones de signos

·        Dedujo que la ecuación de tercer grado se resuelve por radicales cuadráticos

·        Estableció que una ecuación algebraica puede tener tantas raíces como unidades tiene su potencia mayor

·        Distinguió curvas geométricas y mecánicas

·        Utilizó el símbolo infinito

·        Determinó el radio y el centro de un circulo que debe cortar la curva en dos puntos consecutivos

·        Formuló el principio de inercia

·        Creó una técnica para expresar las leyes de la mecánica mediante fórmula algebraicas

·        Introdujo las últimas letras del abecedario para las cantidades desconocidas y las primeras para las conocidas

·        Fue el primero en demostrar las relaciones entre las líneas rectas y las líneas curvas con las ecuaciones que hoy conocemos 

ISAAC NEWTON 

BIOGRAFÍA

Isaac Newton nació el 4 de enero de 1643, y correspondía al 25 de diciembre de 1642, día de la Navidad.​

Fue bautizado el 1 de enero de 1643, 12 de enero en el calendario gregoriano.

La casa donde nació y vivió hasta su juventud se ubica en el lado oeste del valle del río Witham, más abajo de la meseta de Kesteven, en dirección a la ciudad de Grantham. Es de piedra caliza gris, el mismo material que se encuentra en la meseta.

Sus padres fueron Isaac Newton y Hannah Ayscough, dos campesinos puritanos. ​ No llegó a conocer a su padre, pues había muerto en octubre de 1642.

Estudió latín, algo de griego y lo básico de geometría y aritmética. Era el programa habitual de estudio de una escuela primaria en ese entonces. Su maestro fue Sr. Stokes, que tenía buen prestigio como educador.

Los estudios primarios fueron de gran utilidad para Newton; los trabajos sobre matemáticas estaban escritos en latín, al igual que los escritos sobre filosofía natural, y posteriormente le permitieron entrar en contacto con los científicos europeos. ​

A los dieciocho años ingresó en la Universidad de Cambridge para continuar sus estudios. Newton nunca asistió regularmente a sus clases, ya que su principal interés era la biblioteca.

Se graduó en el Trinity College como un estudiante mediocre debido a su formación principalmente autodidacta, leyendo algunos de los libros más importantes de matemática y filosofía natural de la época.

En 1663 Newton leyó la Clavis mathematicae de William Oughtred, la Geometría de Descartes, la Astronomiae Pars Optica de Kepler, la Opera mathematica de Viète, editadas por Frans van Schooten y en 1664, la Aritmética de John Wallis, que le serviría como introducción a sus investigaciones sobre las series infinitas, el teorema del binomio y ciertas cuadraturas.

 

TRABAJOS SOBRE LA LUZ

Entre 1670 y 1672 trabajó intensamente en problemas relacionados con la óptica y la naturaleza de la luz. Newton demostró que la luz blanca estaba formada por una banda de colores(rojo, anaranjado, amarillo, verde, cian, azul y violeta) que podían separarse por medio de un prisma.

Como consecuencia de estos trabajos concluyó que cualquier telescopio refractor sufriría de un tipo de aberración conocida en la actualidad como aberración cromática, que consiste en la dispersión de la luz en diferentes colores al atravesar una lente. Para evitar este problema inventó un telescopio reflector (conocido como telescopio newtoniano).

Sus experimentos sobre la naturaleza de la luz le llevaron a formular su teoría general sobre la misma, que, según él, está formada por corpúsculos y se propaga en línea recta y no por medio de ondas.

El libro en que expuso esta teoría fue severamente criticado por la mayor parte de sus contemporáneos.

Estas críticas provocaron su recelo por las publicaciones, por lo que se retiró a la soledad de su estudio en Cambridge.

En 1704, Newton escribió su obra más importante sobre óptica, Opticks, en la que exponía sus teorías anteriores y la naturaleza corpuscular de la luz, así como un estudio detallado sobre fenómenos como la refracción, la reflexión y la dispersión de la luz.

Aunque sus ideas acerca de la naturaleza corpuscular de la luz pronto fueron desacreditadas en favor de la teoría ondulatoria, los científicos posteriores llegaron a la conclusión, gracias a los trabajos de Max Planck y Albert Einstein, de que la luz tiene una naturaleza dual: es onda y corpúsculo al mismo tiempo. Esta es la base en la cual se apoya toda la mecánica cuántica.

LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Bernard Cohen afirma que «El momento culminante de la Revolución científica fue el descubrimiento realizado por Isaac Newton de la ley de la gravitación universal

Con una simple ley, Newton dio a entender los fenómenos físicos más importantes del universo observable, explicando las tres leyes de Kepler. La ley de la gravitación universal descubierta por Newton se escribe:

Donde F→  es la fuerza, G es una constante que determina la intensidad de la fuerza y que sería medida años más tarde por Henry Cavendish en su célebre experimento de la balanza de torsión, m1 y m2 son las masas de dos cuerpos que se atraen entre sí y r es la distancia entre ambos cuerpos, siendo r^ el vector unitario que indica la dirección del movimiento (si bien existe cierta polémica acerca de que Cavendish hubiera medido realmente G, pues algunos estudiosos afirman que simplemente midió la masa terrestre).

La ley de gravitación universal nació en 1685 como culminación de una serie de estudios y trabajos iniciados mucho antes. En 1551, el español Domingo de Soto fue el primero en establecer que un cuerpo en caída libre sufre una aceleración constante.

La primera referencia escrita que tenemos de la idea de la atracción universal es de 1666, en el libro Micrographia, de Robert Hooke. En 1679 Robert Hooke introdujo a Newton en el problema de analizar una trayectoria curva.

En 1684 Newton informó a su amigo Edmund Halley de que había resuelto el problema de la fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Newton redactó estos cálculos en el tratado De Motu y los desarrolló ampliamente en el libro Philosophiae naturalis principia mathematica.

Aunque muchos astrónomos no utilizaban las leyes de Kepler, Newton intuyó su gran importancia y las engrandeció demostrándolas a partir de su ley de la gravitación universal.

Sin embargo, la gravitación universal es mucho más que una fuerza dirigida hacia el Sol. Es también un efecto de los planetas sobre el Sol y sobre todos los objetos del Universo.

Newton intuyó fácilmente a partir de su tercera ley de la dinámica que, si un objeto atrae a un segundo objeto, este segundo también atrae al primero con la misma fuerza.

Newton se percató de que el movimiento de los cuerpos celestes no podía ser regular. Afirmó: «los planetas ni se mueven exactamente en elipses, ni giran dos veces según la misma órbita».

Para Newton, la estabilidad de las órbitas de los planetas implicaba reajustes continuos sobre sus trayectorias impuestas por el poder divino.

LA LEY DE LA DINÁMICA

Otro de los temas tratados en los Principia fueron las tres leyes de la dinámica o leyes de Newton, en las que explicaba el movimiento de los cuerpos así como sus efectos y causas. Estas son:

La primera ley de Newton o ley de la inercia

Todo cuerpo permanecerá en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado por fuerzas externas a cambiar su estado.

En esta ley, Newton afirma que un cuerpo sobre el que no actúan fuerzas externas (o las que actúan se anulan entre sí) permanecerá en reposo o moviéndose a velocidad constante.

Esta idea, que ya había sido enunciada por Descartes y Galileo, suponía romper con la física aristotélica, según la cual un cuerpo solo se mantenía en movimiento mientras actuara una fuerza sobre él.

La segunda ley de Newton o ley de la interacción y la fuerza

El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz externa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

Esta ley explica las condiciones necesarias para modificar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo. Según Newton estas modificaciones solo tienen lugar si se produce una interacción entre dos cuerpos, entrando o no en contacto (por ejemplo, la gravedad actúa sin que haya contacto físico). Según la segunda ley, las interacciones producen variaciones en el momento lineal, a razón de

F→

Siendo la fuerza, el diferencial del momento lineal,      el

diferencial del tiempo.

La segunda ley puede resumirse en la fórmula

 F→es la fuerza (medida en newtons) que hay que aplicar sobre un cuerpo de masa m para provocar una aceleración a→ .

La tercera ley de Newton o ley de acción-reacción

Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria; las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentidos opuestos.

Esta ley se refleja constantemente en la naturaleza: se tiene una sensación de dolor al golpear una mesa, puesto que la mesa ejerce una fuerza sobre ti con la misma intensidad; el impulso que consigue un nadador al ejercer una fuerza sobre el borde de la piscina, siendo la fuerza que le impulsa la reacción del borde a la fuerza que él está ejerciendo.

APORTES MATEMÁTICOS

·       La principal aportación de Newton fue la constitución de una teoría coherente, el calculo infinitesimal, cuyos elementos habían sido progresivamente elaborados sobre todo a partir de comienzos del siglo XVII.

·       Generalizó los métodos que se habían utilizado para trazar líneas tangentes a curvas y para calcular el área encerrada bajo una curva, y descubrió que los dos procedimientos eran operaciones inversas

·       Formuló el teorema de binomio